第 一部分 一般性理论 第 1章 引言　　2 1.1 生日问题　　3 1.1.1 陈述问题　　3 1.1.2 解决问题　　6 1.1.3 对问题和答案的推广：效率　　11 1.1.4 数值检验　　14 1.2 从投篮到几何级数　　16 1.2.1 问题和解答　　16 1.2.2 相关问题　　22 1.2.3 一般问题的解决技巧　　25 1.3 赌博　　28 1.3.1 2008年超级碗赌注　　29 1.3.2 预期收益　　29 1.3.3 对冲的价值　　31 1.3.4 结论　　32 1.4 总结　　33 1.5 习题　　35 第 2章 基本概率定律　　41 2.1 悖论　　42 2.2 集合论综述　　44 2.2.1 编程漫谈　　48 2.2.2 无穷大的大小和概率　　50 2.2.3 开集和闭集　　52 2.3 结果空间、事件和概率公理　　54 2.4 概率公理　　59 2.5 基本概率规则　　61 2.5.1 全概率公式　　62 2.5.2 并的概率　　63 2.5.3 包含的概率　　66 2.6 概率空间和σ代数　　67 2.7 附录：实验性地找出规律　　72 2.7.1 乘积求导法则　　73 2.7.2 并的概率　　74 2.8 总结　　75 2.9 习题　　75 第3章 计数I：纸牌　　80 3.1 阶乘和二项式系数　　81 3.1.1 阶乘函数　　81 3.1.2 二项式系数　　85 3.1.3 总结　　90 3.2 扑克牌　　90 3.2.1 规则　　91 3.2.2 最小牌型　　93 3.2.3 对子　　95 3.2.4 两对　　98 3.2.5 三条　　99 3.2.6 顺子、同花和同花顺　　99 3.2.7 葫芦和铁支　　100 3.2.8 扑克牌型练习：I　　102 3.2.9 扑克牌型练习：II　　103 3.3 单人纸牌　　105 3.3.1 克朗代克纸牌　　105 3.3.2 Aces Up纸牌　　108 3.3.3 《空当接龙》　　110 3.4 桥牌　　112 3.4.1 井字游戏　　113 3.4.2 桥牌牌局的个数　　115 3.4.3 将牌的分配　　121 3.5 附录：计算概率的代码　　125 3.5.1 将牌的分配和代码　　125 3.5.2 扑克牌型的代码　　127 3.6 总结　　130 3.7 习题　　130 第4章 条件概率、独立性和贝叶斯定理　　134 4.1 条件概率　　135 4.1.1 猜测条件概率公式　　137 4.1.2 期望计数法　　138 4.1.3 文氏图法　　140 4.1.4 蒙提霍尔问题　　141 4.2 一般乘法法则　　142 4.2.1 陈述. 　　142 4.2.2 扑克牌的例子　　143 4.2.3 帽子问题和纠错码　　144 4.2.4 高等注解：条件概率的定义　　145 4.3 独立性　　146 4.4 贝叶斯定理　　148 4.5 划分和全概率法则　　154 4.6 回顾贝叶斯定理　　157 4.7 总结　　158 4.8 习题　　158 第5章 计数II：容斥原理　　162 5.1 阶乘和二项式问题　　163 5.1.1 “有多少个”与“概率是什么”　　163 5.1.2 选组　　165 5.1.3 循环次序　　166 5.1.4 选择套装　　168 5.2 容斥方法　　170 5.2.1 容斥原理的特例　　170 5.2.2 容斥原理的陈述　　173 5.2.3 容斥公式的证明　　175 5.2.4 利用容斥原理：同花色牌型　　177 5.2.5 从“至少”到“恰好”的方法　　180 5.3 错排　　182 5.3.1 错排的个数　　183 5.3.2 错排数的概率　　184 5.3.3 错排试验的代码　　185 5.3.4 错排的应用　　187 5.4 总结　　188 5.5 习题　　190 第6章 计数III：高等组合学　　193 6.1 基本计数　　194 6.1.1 枚举法I　　194 6.1.2 枚举法II　　195 6.1.3 有放回抽样和无放回抽样　　199 6.2 单词排序　　207 6.2.1 排序方法数　　208 6.2.2 多项式系数　　210 6.3 划分　　213 6.3.1 饼干问题　　213 6.3.2 彩票　　216 6.3.3 其他划分　　220 6.4 总结　　223 6.5 习题　　223 第二部分 介绍随机变量 第7章 离散型随机变量　　228 7.1 离散型随机变量：定义　　228 7.2 离散型随机变量：概率密度函数　　230 7.3 离散型随机变量：累积分布函数　　233 7.4 总结　　241 7.5 习题　　243 第8章 连续型随机变量　　246 8.1 微积分基本定理　　247 8.2 概率密度函数和累积分布函数：定义　　259 8.3 概率密度函数和累积分布函数：例子　　251 8.4 单元素事件的概率　　256 8.5 总结　　258 8.6 习题　　259 第9章 工具：期望　　262 9.1 微积分预备知识　　263 9.2 期望值和矩　　265 9.3 均值和方差　　268 9.4 联合分布　　273 9.5 期望的线性性质　　277 9.6 均值和方差的性质　　282 9.7 偏斜度与峰度　　287 9.8 协方差　　287 9.9 总结　　288 9.10 习题. 　　289 第 10章 工具：卷积和变量替换　　292 10.1 卷积：定义和性质　　293 10.2 卷积：掷骰子的例子　　296 10.2.1 理论计算　　296 10.2.2 卷积码　　297 10.3 多变量的卷积　　298 10.4 变量替换公式：叙述　　301 10.5 变量替换公式：证明　　305 10.6 附录：随机变量的乘积与商　　309 10.6.1 乘积的概率密度函数　　310 10.6.2 商的概率密度函数　　311 10.6.3 例子：指数分布的商　　311 10.7 总结　　313 10.8 习题　　313 第 11章 工具：微分恒等式　　317 11.1 几何级数的例子　　318 11.2 微分恒等式法　　321 11.3 在二项分布随机变量上的应用　　322 11.4 在正态分布随机变量上的应用　　326 11.5 在指数分布随机变量上的应用　　328 11.6 总结　　330 11.7 习题　　331 第三部分 特殊分布 第 12章 离散分布　　334 12.1 伯努利分布　　334 12.2 二项分布　　335 12.3 多项分布　　339 12.4 几何分布　　341 12.5 负二项分布　　343 12.6 泊松分布　　347 12.7 离散均匀分布　　350 12.8 习题　　353 第 13章 连续型随机变量：均匀分布与指数分布　　357 13.1 均匀分布　　357 13.1.1 均值和方差　　358 13.1.2 服从均匀分布的随机变量之和　　359 13.1.3 例子　　362 13.1.4 均匀地生成随机数　　364 13.2 指数分布　　365 13.2.1 均值和方差　　366 13.2.2 服从指数分布的随机变量之和　　369 13.2.3 服从指数分布的随机变量的例子与应用　　372 13.2.4 从指数分布中生成随机数　　373 13.3 习题　　376 第 14章 连续型随机变量：正态分布　　379 14.1 确定标准化常数　　380 14.2 均值和方差　　383 14.3 服从正态分布的随机变量之和　　386 14.3.1 情形1：μX = μY = 0且σX^2 = σY^ 2 = 1　　388 14.3.2 情形2：一般化的μX、μY 和σX^2、σY^2 　　390 14.3.3 两个服从正态分布的随机变量之和：更快的代数运算　　393 14.4 从正态分布中生成随机数　　394 14.5 例子与中心极限定理　　400 14.6 习题　　401 第 15章 伽马函数与相关分布　　405 15.1 Γ(s) 的存在性　　405 15.2 Γ(s) 的函数方程　　407 15.3 阶乘函数与Γ(s) 　　411 15.4 Γ(s) 的特殊值　　412 15.5 贝塔函数与伽马函数　　414 15.5.1 基本关系式的证明　　415 15.5.2 基本关系式和Γ(1=2) 　　417 15.6 正态分布与伽马函数　　418 15.7 随机变量族　　419 15.8 附录：余割等式的证明　　421 15.8.1 余割等式：第 一种证明　　421 15.8.2 余割等式：第二种证明　　425 15.8.3 余割等式：s = 1=2的特殊情形　　427 15.9 柯西分布　　429 15.10 习题　　431 第 16章 卡方分布　　433 16.1 卡方分布的起源　　434 16.2 X ~x^2(1) 的均值与方差　　436 16.3 卡方分布与服从正态分布的随机变量之和　　437 16.3.1 直接积分求平方和　　439 16.3.2 利用变量替换定理求平方和　　440 16.3.3 卷积法求平方和　　444 16.3.4 服从卡方分布的随机变量之和　　446 16.4 总结　　447 16.5 习题　　449 第四部分 极限定理 第 17章 不等式和大数定律　　452 17.1 不等式　　452 17.2 马尔可夫不等式　　454 17.3 切比雪夫不等式　　456 17.3.1 陈述　　456 17.3.2 证明　　458 17.3.3 正态分布与均匀分布的例子　　460 17.3.4 指数分布的例子　　462 17.4 布尔不等式与邦弗伦尼不等式　　462 17.5 收敛类型　　464 17.5.1 依分布收敛　　464 17.5.2 依概率收敛　　466 17.5.3 几乎必然收敛与必然收敛　　467 17.6 弱大数定律与强大数定律　　467 17.7 习题　　469 第 18章 斯特林公式　　472 18.1 斯特林公式与概率　　474 18.2 斯特林公式与级数的收敛性　　476 18.3 从斯特林公式到中心极限定理　　477 18.4 积分判别法与较弱的斯特林公式　　481 18.5 得到斯特林公式的基本方法　　484 18.5.1 二进分解　　484 18.5.2 斯特林公式的下界：I　　486 18.5.3 斯特林公式的下界：II　　488 18.5.4 斯特林公式的下界：III　　490 18.6 静态相位与斯特林公式　　491 18.7 中心极限定理与斯特林公式　　492 18.8 习题　　494 第 19章 生成函数与卷积　　496 19.1 动机　　496 19.2 定义　　498 19.3 生成函数的唯一性和收敛性　　503 19.4 卷积I：离散型随机变量　　504 19.5 卷积II：连续型随机变量　　508 19.6 矩母函数的定义与性质　　514 19.7 矩母函数的应用　　521 19.8 习题　　525 第 20章 中心极限定理的证明　　527 20.1 证明的关键思路　　537 20.2 中心极限定理的陈述　　529 20.3 均值、方差与标准差　　531 20.4 标准化　　532 20.5 矩母函数的相关结果　　536 20.6 特殊情形：服从泊松分布的随机变量之和　　538 20.7 利用MGF证明一般的CLT　　541 20.8 使用中心极限定理　　543 20.9 中心极限定理与蒙特卡罗积分　　544 20.10 总结　　546 20.11 习题　　547 第 21章 傅里叶分析与中心极限定理　　552 21.1 积分变换　　553 21.2 卷积与概率论　　557 21.3 中心极限定理的证明　　560 21.4 总结　　563 21.5 习题　　564 第五部分 其他主题 第 22章 假设检验　　568 22.1 Z检验　　569 22.1.1 原假设与备择假设　　569 22.1.2 显著性水平　　570 22.1.3 检验统计量　　572 22.1.4 单侧检验与双侧检验　　575 22.2 p值　　578 22.2.1 非凡的主张与p值　　578 22.2.2 大的p值　　579 22.2.3 关于p值的误解　　579 22.3 t检验　　581 22.3.1 估算样本方差　　581 22.3.2 从z检验到t检验　　582 22.4 假设检验的问题　　585 22.4.1 I型错误　　585 22.4.2 II型错误　　585 22.4.3 错误率与司法系统　　586 22.4.4 功效　　587 22.4.5 效应量　　588 22.5 卡方分布、拟合优度　　588 22.5.1 卡方分布与方差检验　　589 22.5.2 卡方分布与t分布　　592 22.5.3 列表数据的拟合优度　　593 22.6 双样本检验　　595 22.6.1 双样本z检验：方差已知　　595 22.6.2 双样本t检验：方差未知但相等　　598 22.6.3 方差未知且不相等　　599 22.7 总结　　601 22.8 习题　　 602 第 23章 差分方程、马尔可夫过程和概率论　　 604 23.1 从斐波那契数到轮盘赌　　604 23.1.1 翻倍加一策略　　604 23.1.2 对斐波那契数的快速回顾　　606 23.1.3 递推关系与概率　　608 23.1.4 讨论与推广　　609 23.1.5 轮盘赌问题的代码　　610 23.2 递推关系的一般理论　　612 23.2.1 表示法　　612 23.2.2 特征方程　　612 23.2.3 初始条件　　614 23.2.4 关于不同根意味着可逆性的证明　　616 23.3 马尔可夫过程　　617 23.3.1 递推关系与种群动力学　　617 23.3.2 一般的马尔可夫过程　　619 23.4 总结　　620 23.5 习题　　620 第 24章 最小二乘法　　622 24.1 问题的描述　　622 24.2 概率论与统计学回顾　　623 24.3 最小二乘法　　625 24.4 习题　　629 第 25章 两个著名问题与一些代码　　632 25.1 婚姻/秘书问题　　632 25.1.1 假设与策略　　632 25.1.2 成功的概率　　633 25.1.3 秘书问题的代码　　637 25.2 蒙提霍尔问题　　639 25.2.1 一个简单的解决方案　　639 25.2.2 一种极端情形　　640 25.2.3 蒙提霍尔问题的代码　　641 25.3 两个随机程序　　642 25.3.1 有放回取样与无放回取样　　642 25.3.2 期望　　643 25.4 习题　　644 附录A 证明技巧（图灵社区下载） 附录B 分析学结果（图灵社区下载） 附录C 可数集与不可数集（图灵社区下载） 附录D 复分析与中心极限定理（图灵社区下载） · · · · · · (收起)