三门问题的数学原理及模拟实验

三门问题是一个源自博弈论的数学游戏。三门问题的等价问题出现的很早，三囚犯问题至少在 1959 年马丁·加德纳的《数学游戏》专栏中就已有阐述。但是让三门问题真正引起广泛讨论的，当属美国的电视游戏节目 Let's Make a Deal。因该节目的主持人名为蒙蒂·霍尔，故而该问题也称为「蒙蒂·霍尔问题」。问题的描述大致如下：

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有汽车，选中后面有汽车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？

三门问题引起了广泛的讨论。例如在果壳网和知乎网上，你能找到大量相关讨论。

本文将尽可能清晰地对三门问题做完整讨论。

三门问题的概率表述

贝叶斯公式

贝叶斯公式，是关于条件概率的公式。假设有事件和事件，它们地位等同。贝叶斯公式可以根据给定事件时事件的条件概率去计算给定事件时事件的条件概率；或者反过来。贝叶斯公式的数学表示是：

其中，是事件的先验概率；是给定事件时事件的条件概率，在此一般称为后验概率；是事件的先验概率，在此一般称为边缘概率；是给定时间时事件的条件概率。

三门问题的概率建模

在三门问题中，若有以下定义：

事件：参赛者选择的门后有汽车；
事件：主持人选择的门后有汽车。

则，根据贝叶斯公式，有

因此，问题转换为求解并判断后验概率：

考虑表示已知参赛者选择的门后有汽车时，主持人选择的门后无汽车的概率，因为已知三扇门后只有一台汽车，因此。又考虑到参赛者选择的门后有汽车的概率始终是，因此问题实质上是要看边缘概率的值：

若，则，答案是「是」；
若，则，答案是「否」。

边缘概率之谜

两种答案

关于三门问题，两种答案争执已久。归纳起来，可以是：

既然主持人排除了一个错误选项，那么原始问题就变成了二选一的新问题，此时选哪个都一样，中奖概率都是。因此答案是「否」。
三扇门的中奖概率都是，参赛者选中的门的中奖概率自然也是；而主持人选择的门打开后，就「跑到」另一扇门上去了，所以另一扇门的中奖概率是。因此答案是「是」。

暗藏的假设

根据贝叶斯公式，目标后验概率为。因此，以上两种答案对应边缘概率分别是和；这又对应了两种假设：

主持人并不知道门后的情况，随机选择后恰好门后是羊；特别地，主持人不知道参赛者选择的门后的情况，因而主持人的选择没有带来新的信息量。即：
主持人知道门后的情况，因此选择的门后边必然是羊；特别地，主持人知道参赛者选择的门后的情况，因而主持人的选择带来了新的信息量。即：。

这两种假设即是长期持续的争论的直接原因，而其根源在于原始问题用模糊的语言玩了一个文字游戏。「节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇」，并没有体现出主持人事先是否知道门后的情况；因而两种理解都算是可以接受的。这即是三门问题引起争论的原因，也是其陷阱所在。

破解谜题

尽管在原始问题中，有「文字游戏」的嫌疑，但由于「露出其中一只山羊」的保证，事实上主持人的选择就变成了确定性的结论，因而带来了信息量。以概率论的角度来描述，即是。

因此，三门问题的答案，应当是「换另一扇门会增加参赛者赢得汽车的机会（概率从增加到）」。

回到小孩子的思维

行文至此，尽管已经从概率论的角度解答了原始问题，并给出了问题令人困惑的根本原因，但可能仍然有人拒绝这一反直觉的答案。为此，此处给出一个运用小孩子的思维的解法：枚举。

根据题目，参赛者需要在三扇门中进行选择，而门后共有一台汽车和两只羊。不妨将其设为汽车和羊A 及羊B。那么，若参赛者在主持人展示一只羊之后更改选择，则获胜的概率为（失败的概率则是）。所有可能的情况枚举如下：

当参赛者一开始选择汽车时（概率），不论主持人选择羊A 还是羊B，若参赛者更换选择，都不能赢得汽车。
当参赛者一开始选择羊A时（概率），主持人必然选择羊B，若参赛者更换选择，则必然赢得汽车。
当参赛者一开始选择羊B时（概率），主持人必然选择羊A，若参赛者更换选择，则必然赢得汽车。

计算机模拟实验

所谓「实践是检验真理的唯一标准」，在给出了尽可能清晰的解答之后，本文也尝试用计算机模拟的方法，进行实践检验。

Python 代码（在此下载）读起来很容易，因此不做详细说明，而只给出简单的解释。对于参赛者的两种选择（在主持人打开一扇门后是否更改选择），代码分别进行了 10000 轮，每轮 1000 次的实验。而后，代码统计每轮 1000 次实验中，参赛者成功赢得汽车的频率；并将 10000 轮频率绘制成图展示。

以下是「不更改」的实验结果。不难发现，频率分布在左右，每轮实验的具体频率在它附近抖动。

三门问题中参赛者不更改选择时成功的频率折线图