彩票的数学知识

彩票怎样才能中奖？

理论上，只能靠运气。但是，如果规则设计得不好，就可以钻漏洞。

2005年2月，美国的一个彩票品种，就出现了漏洞，被麻省理工学院的学生发现了。随后的七年，这个学生反复购买这个品种，一共赚到了300万美元。

本文介绍他怎么做的，以及其中的数学原理。我依据的材料，主要来自数学教授 Jordan Ellenberg 在斯坦福大学的一次演讲（Youtube）。

一、期望值

彩票最重要的数学概念，叫做"期望值"（expected value），即同一种行为多次重复以后，所能得到的平均收益。

举例来说，如果每次抽奖需要2元，假设200次抽奖可以中奖一次，奖金为300元。那么，你花了2000元，一共抽奖1000次，中奖了5次，奖金为1500元。

也就是说，1000次抽奖的总收益是1500元，每次的平均收益是1.5元，这就是期望值。它的计算公式如下。

期望值 = 300 * (1 / 200) + 0 * (199 / 200) = 1.5

期望值是1.5元，但是每次抽奖成本2元，于是净亏损0.5元。

一看就知道，这个事情是不划算的，做得越多，越不划算。偶尔买一次彩票，倒也算了；如果你一天到晚不断买彩票，就肯定会亏很多钱（上例是每200次亏100元）。

总之，期望值是衡量彩票收益的一个关键指标。

美国马萨诸塞州有一个彩票品种，叫做 WinFall。它的规则很简单：1到48里面，你猜6个数字，猜中就有奖。

四等奖（6个猜中2个）：奖金2元

三等奖（6个猜中3个）：奖金5元

二等奖（6个猜中4个）：奖金150元

一等奖（6个猜中5个）：奖金4000元

特等奖（6个猜中6个）：奖金池剩余的全部奖金

有一期，一共卖出了930万张彩票，其中特等奖一个，奖金100万美元，一等奖238个，二等奖11625个，三等奖19.8万个，四等奖136.8万个。

计算可知，这种彩票的期望值是0.798元。

期望值 = 　　100万 * ( 1 / 930万) + 　　4000 * ( 238 / 930万) + 　　150 * (11625 / 930万) + 　　5 * (19.8万 / 930万) + 　　2 * (136.8万 / 930万 )

　　= 0.798