一个街边游戏的概率分解
前两天有个朋友转给我一个街边赌局的视频，他问我这个赌局的概率如何算。本来是一个简单问题，学过组合概率的人都应该可以算。但是在教他解答的过程中我当然自己要算一遍。既然我已经算过了，干脆把它写出来。说不定别的人也有兴趣知道一下。
上面是这个街边赌局视频的截图，说明了赌局的玩法。再解释一下：盘子中有红蓝黄三种球各8个。把它们倒进布袋。玩家从袋里摸出12个（摸的时候看不见颜色）。摸出来的球的颜色共有上图所列的13种可能。除了345这种组合（3种颜色，一个颜色3个，一个颜色4个，另一个颜色5个），摸出其它12种组合庄家都赔钱给你，赔的数额如上图。如果摸出345，玩家就得交30元。
视频中那个玩家摸了两次，都是345，输了60元。很多评论说那个袋子有鬼。这其实是一个纯概率问题，袋子没有机关庄家的赢面也很大，也就是说这个赌局对庄家有利，而且利润还很大。我们现在就来算一算。
首先，我们知道24个球摸12个球，总共有 C(24, 12) = 2704156种摸法。要算某一种颜色组合出现的概率，只需算出那种颜色组合被摸到的方式有多少种，再除以总数2704156就可以了。比如，我们要算732出现的概率。假设红7，蓝3，黄2。那么，8个红球里摸出7个有8种可能，8个蓝球里摸出3个有 8×7×6/6=56种可能，8个黄球里摸出两个，有8×7/2=28种可能，所以，总共有8×56×28=12544种可能。这种732组合也可能是蓝球7红2黄3或黄7蓝2红3，这样的颜色组合有六种，所以，前面的12544还需要乘以6，得出732的总组合数为75264。除以2704156，得出概率0.02783271。其它组合可以用同样的方法算出。注意，如果有两种颜色球数相同，那颜色组合就只有3种，不是6种。三种球数都相同（444），只有一种颜色组合。
用上面这组算法，我们可以得出下面的表格：
第一列是球色组合，第二列是相应的概率。第三列是庄家对每种组合给出的赔率。第四列是每一个组合单项在每一次游戏的期望赔率（换句话说就是在玩很多次后在每一项上的赔额的平均数）。最后一行是总和。可以看到，这个游戏的总期望赔率是负的，也就是说平均说起来，玩家会输钱（每次平均输8块6毛4）。
这个概率分布可以用下图更直观地表示出来。可以看到543这种组合的概率最大。将近0.5，也就是说平均差不多每两盘就可以摸到一次。
视频中那个玩家一直关心的是那个840组合，因为那个组合可以得到500元。赔额很高，但是从概率上来说，出现的概率只有0.00016，也就是平均一万盘出现1.6次（差不多2万盘会出现3次）。用赔额乘以其出现的概率得到0.15元，比345那项的负14.6元小多了。一般人不懂概率，只被大数额吸引，至于那些小数额是5元还是10元玩家不是太关心。鉴于这种心理，我们可以把赔率表改一下，增加一些小概率组合的大数赔率，减少一些大概率组合的赔率。这样的赔率表放在街上肯定更吸引人。
下面是我给出的一个建议赔率表。最大赔率1000元，其它还有好些500元的，这样的表格肯定更吸引人。最诱人的地方是只有一种组合（345）需要自己交钱，其它都是赚钱。懂概率的人可以算一下，这个赔率表的总期望值还是负数（见下表格），而且比现有的赔率（前面那个表格）的总期望值还负更多，也就是说这个看起来更诱人的赔率庄家更赚。
上面这两个表格，当然不是用手算的，而是用了一个简单程序。通常我写程序都是用MATLAB。但这种有组合形式的表格还是用R更自然。下面是产生这个表格的R源码，有兴趣的可以看一看。
ctotal <- CombN(24,12)
ctb <- c(6,3,1)
cp <- data.frame(i=rep(4:8,25),
j=rep(rep(2:6,each=5),5),
k=rep(0:4,each=25)) %>%
filter(i>=j & j>=k & (i+j+k)==12) %>%
mutate (
combination = paste0("c",i,j,k),
cijk = (i==j) + (j==k) + 1,
probability = ctb[cijk]*CombN(8,i)*CombN(8,j)*CombN(8,k)/ctotal
) %>%
dplyr::select(combination,probability) %>%
mutate (
pay = c(500,50,10,40,30,10,20,10,10,5,20,-30,10),
expected_gain = pay*probability
) %>% setorder(-probability) %>%
mutate (
suggestPay = c(-30,5,5,5,5,20,20,50,500,500,500,500,1000),
expected_Suggest_gain = suggestPay*probability
)
总结一下，这个看似很诱人的街边游戏实际上是对玩家很不利的，基本上等于白送钱给庄家。觉得有趣偶尔玩一下没有问题，要想从这个游戏中赚钱就不要想了。这篇文章只是从概率的上给它一个揭秘。这个总结也适合于其它街头游戏，否则那些庄家就不能生存了。