新年以来，国内大小荧幕上都有不少的惊喜。影院春节档的票房有了大幅度回升。而在电视屏幕上，除了我肯定会关注的《三体》外，反黑刑侦局《狂飙》更是引发了全国的观看浪潮，不知道大家都追了没。不过，毕竟这里不是什么影视媒体，就不分析人物剧情之类的了。但剧中有一段场景，却很符合我们的定位 —— 鸡兔同笼数学题。![]()
高启盛和同学在夜总会里被前同学曹斌戏弄，方法则是和从前欺负他的时候一样，让他做鸡兔同笼，最终来证明这种“聪明的学霸”没有什么用。曹斌给他出了四道鸡兔同笼，从“6个头，22只脚”到“36个头96只脚”，以及“88个头244只脚”，高启盛都很快给出了答案。
而最后一道题，曹斌说的是“108个头，444只脚”，因为444明显超过了108的4倍，就算全是兔子，也不会有这么多脚，所以高启盛的答案是“出错题”了。
因为鸡兔同笼本身并不会涉及到非常复杂的运算，因此，这个故事也不能说明高启盛就是什么天才，但肯定是有比较好的数学底子。只是相反，觉得“计算鸡兔同笼”很厉害，甚至题都能出错的曹斌，反而是做实了草包一个的人设。
但还是要给本剧的编剧鼓个掌，用了鸡兔同笼这个经典又很重要的中国传统数学题，而不是“最强大脑”那种纯算纯背的东西，要是改成让高启盛背个圆周率，那就太尬了。其实计算鸡兔同笼并不复杂，可能每个人也有自己最习惯最快的计算方式。比如我就是“腿数÷2-头数”。计算量不大，对于曹斌出的那几道两位数的题目，基本2-3秒也能解决掉。
不过鸡兔同笼的意义不仅仅是曹斌以为的算得快就厉害。
鸡兔同笼是中国最经典的传统数学题之一，在南北朝时期的《孙子算经》中，就有：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（鸡兔同笼，35个头，94只脚，几只鸡几只兔子）”。而到现在，鸡兔同笼更是小学数学甚至学前数学启蒙阶段经常会被提到的一种应用题型。之所以能跨越上千年，不仅仅是因为兔兔和野鸡很可爱，也好吃。而是因为它所蕴含的数学概念，从最简单估算、四则运算开始，可以一直延展很远。对于年幼的小朋友来说，鸡兔同笼可以是一个很好的将运算和故事性相结合的应用题，小朋友可以很容易在脑海中想象出很多兔子和鸡在一起的场景，从而产生去寻找答案的兴趣。
而随着对数学越来越有兴趣，了解得越来越深，则从鸡兔同笼中所能发现的也就越来越多。
比如对刚接触鸡兔同笼的幼小衔接或者刚上小学的孩子，就可以用很形象的“抬腿法”来求解。可以让小朋友想想，14只脚的时候，是兔子四脚着地，鸡两只脚着地。如果兔子和鸡都抬起来一只脚，兔子三只脚站，而鸡金鸡独立，那地面上还有多少只脚呢？每只动物都减少了一只，所以总共减少了5只脚。14-5=9。地面上还有9只脚。
那如果兔子站起来，只用两脚着地，鸡则都扑通扑通飞到栅栏上，没有脚放在地上，每只动物又少了一只。总共又少了5只。9-5=4，所以这时候地面上还有四只脚。而此时只有兔子的脚在地面上，每只兔子2只脚站着。所以几只兔子会有4只脚在地面上呢？2只。那总共5只动物，鸡有几只呢，自然是3只。 当孩子开始熟悉了乘除法，就可以用更多的思考方式来解题了。
比如设想，如果所有的都是兔子，那5只兔子应该有20只脚，结果却只有14只，少了6只，每有一只鸡，就会比兔子少2只脚，总共少了6只，那就是有3只鸡了。反过来也可以设想如果所有的都是鸡，总共应该有多少只脚，结果却多了多少......同样也可以解题。鸡兔同笼的问题，也适用我们之前说过很多次的“数形结合”的方式来解题。我们可以想象下面这个图形，蓝色长方形的长是兔子的头数，宽是4，所以面积就是兔子的腿数；黄色长方形的长是鸡的头数，宽是2，所以面积就是鸡的腿数。因此整个图形的长就是总头数，17，而蓝+黄的面积之和就是总腿数，面积=56。
而如果我们将右上角这块补上，就能得到一个完整的长方形，面积是17×4=68。那缺少的这块浅黄斜线长方形面积（和黄色长方形长宽一样），就是68-56=12。而长方形宽是2，因此长就是6了。所以鸡有6只。17-6=11，兔子有11只。当然到了小学后半阶段，开始接触未知数方程之后，这个题目变得很简单，但似乎也很乏味了，就是列个二元一次方程组：x+y=头数
很快就能解出来。有人会觉得鸡兔同笼无非如此，之前学的那些方法都是浪费时间，还不如直接用方程之类的。有这样想法的人可能不在少数，尤其是前些年海淀鸡血风盛行的时候，过早的为了追求答题效率，而教孩子用方程解各种应用题是很常见的一种“教学思路”。但这样也有一个很明显的缺点，那就是孩子跳过的早期需要的数学启蒙，没办法把数学这种“世界本源”真正的和真实世界相关联，以至于在未来的数学学习更困难。更何况，列方程也并不算是最“根本”或者“终极”解鸡兔同笼的方式。比如我们会在高中涉猎到的“矩阵”，其实就是一种更“基本”的解鸡兔同笼的方法。连未知数都不需要设，也能解开更为复杂的“三者”、“四者”同笼。鸡兔同笼用矩阵来解题很方便，是因为“笼子里有2种动物，每种动物有2种属性”，这就是个2×2的矩阵。
我们用矩阵来表示兔子有1个头4条腿，鸡有1个头2条腿的话，就是这样的：![]()
而如果计算不同的兔子和鸡总共有多少头，多少腿。就是将上面这个矩阵，乘以另外一个表示兔子和鸡的只数的矩阵，就能得到答案。
比如11只兔子6只鸡的话，两个矩阵相乘就能得到答案：17个头，56只脚。
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但鸡兔同笼是反过来，知道头和脚的数量，求两种动物的数量。所以是知道上面等式右边的矩阵，求中间的这个。![]()
不过矩阵不能做除法，它的运算方式，就是先求出第一个矩阵的逆矩阵，然后乘右边的矩阵，来得到结果。
先求出这个逆矩阵：
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需要计算鸡兔同笼的时候，只要用这个矩阵，乘上题目中头数和腿数的矩阵，就可以很简单得到任何题目中，两种动物的数量了（11只兔、6只鸡）。
所以想快速计算任何的鸡兔同笼问题，对于知道矩阵如何计算的人来说，只要费几个脑细胞，记得上面矩阵中的（-1,0.5,2,-0.5）这四个数，就能轻松解题了。至于更复杂的三种动物的同笼题目，比如蜘蛛、蝴蝶和蝉总共20个头，124条腿和22对翅膀，求各有几只。解法也是一样的，把三种动物状态的基本矩阵，求个逆矩阵，然后乘以题目中头、腿和翅膀的数量矩阵，就得到结果了。
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如果是计算更复杂的n种动物同笼时，只要网上找个矩阵计算器，就可以轻松得到答案了。
之所以从《狂飙》开始，一直聊到矩阵这么远，其实就是想说，在孩子早期的数学教育中，应用题是非常重要的组成部分。
它不仅仅是孩子在数学学习中的重要阶梯，以及连接抽象数学世界和现实世界的桥梁，同时也是引导孩子去掌握各种数学思维模式的重要工具。
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