🙋🏻‍♀️ 编者按：本文作者是蚂蚁集团前端工程师阿侎，和大家深入探讨 Canvas/SVG 的布尔运算，包括环绕规则、分割、求交、线段内外性、线段注释、扩展曲线、选择结果、强制奇偶等等，欢迎查阅～

  前言

支付宝 LOGO 的结构图相信很多人看过。它通过若干形状和线段，描述了整体矢量图形的逻辑构造。比如：背景是个圆角矩形；内部减去一个“支”矢量图。

这种将任意 2 个矢量图形，通过合、减、交、差的集合方法，组合成新的矢量图形的方法叫做多边形的布尔运算。看上去和位图的 mask 遮罩很相似，但功能更强大一些。因为 mask 的作用相当于“交集”，反向 mask 或者说 clip 裁剪相当于“减集”，合集和差集则很不常见。矢量的计算处理，涉及一定程度的几何图形学知识，也比位图 mask 要难。

  环绕规则

矢量图形绘制有个基本概念，需要定义区分一个闭合区域的内部或外部，这样在渲染时只会填充内部。通过环绕数（winding number）来判断内外，也叫环绕规则或填充规则。一个闭合区域的边的顺序分为顺时针和逆时针 2 种情况。如下图三角形内部填充红色，3 条边可以顺时针画也可以逆时针画。

从区域中任意方向引一条射线，判断射线和边的相交结果（相切不算），如果遇到逆时针的边记+1，顺时针的边记-1，那么最终所有次数相加的和，即环绕数，可能有 3 种情况：正数、零、负数。通过定义不同情况便可确立填充规则，常见的是非零环绕和奇偶环绕。前者指环绕数非零为内部、其它为外部，后者指奇数为内部、偶数为外部。上面 2 个三角形的环绕数是-1和+1，无论哪种规则效果都是一样的。再看下图左，按照黑色箭头的笔画方向绘制一个星形，在非零和奇偶 2 种规则下填充效果分别为图中和图右。星形正中间区域环绕数是-2，非零认为是内部，奇偶认为是外部。

在 Canvas/SVG 中，默认是非零，可以通过传值更改：

// canvas
ctx.fill('nonzero'); // 默认非零可不传
ctx.fill('evenodd'); // 奇偶

//svg
<path fill-rule="nonzero"/> // 默认非零可不传
<path fill-rule="evenodd"/> // 奇偶

  Bentley-Ottmann

Bentley-Ottmann 是一个求平面上所有线段交点的算法，属于扫描线算法的一种。扫描线算法是指引入一条直线，可以是水平或者垂直的，从一端扫描到另一端，中间经过顶点位置时会触发事件。在这个过程中完成求交的结果。如下图，有红色线段 a 和蓝色线段 b，能看出它们有个交点。垂直扫描线从左侧扫描到右侧，依次经历了：a 左侧开始点、b 左侧开始点、a 和 b 交点（后面会说特殊性）、b 右侧结束点、a 右侧结束点。处在扫描线范围内的线段称为活动线段。5 个顶点位置触发 5 个事件，配合上不同的处理，便可完成整体算法（例子中交点这个顶点事件很特殊，并不是一开始就已知的，而是 a 和 b 开始事件后求得的，如果不相交就不会有）。

这个算法的好处是线段很多的情况下，时间复杂度约为 O(nlogn)。不像两两对比需要 O(n^2)。具体可以搜索或者看《Wiki》，这里不过多深入。Bentley-Ottmann 揭示了 2 个要点：

1. 两条相交的线段必定是临近的：扫描过程中只检测相邻的两条活动线段是否相交，大大减少了对比次数；
2. 两条线段相交后会交换上下位置：起初 a 在 b 上面，相交后 a 在 b 下方，相邻关系发生变化。

Martinez 以此为根据写了篇算法论文（见末尾参考），在扫描求交的同时进行线段的内外性注释，最后给出布尔运算的结果。可惜的是，它只支持直线多边形，不支持曲线多边形。现实情况中贝塞尔曲线矢量图形更加常见，比如文章开头支付宝 LOGO 中大量的圆弧。虽然可以通过将弧线离散为很多细小的直线，但这样会产生精度问题，顶点过多也会影响性能。

笔者借鉴 Vatti 的方法将弧线分割为x单调性的弧线，将求交的部分用普通扫描线算法实现，再以 Martinez 的线段内外性注释方法完成布尔运算。这样做的原因是逻辑比较清晰简单，方便拆分解耦。如果有同时求交和注释的详细解法，请不吝赐教。另：Martinez 法强制参与运算的规则是奇偶环绕，Sketch 似乎就是如此，见后文。

  分割

算法的第一步是检查是否有非 x 单调性的曲线，如果有则求导确定单调变化的极值点，然后分割曲线，确保 x 一定是单调增或者单调减。这么做是为了后面线段注释算法，可以先跳过。如图，多边形右侧的非x单调性曲线切割为上下 2 份，原本 4 条边 4 个顶点变成 5 条边 5 个顶点：

  求交

普通的扫描线求交算法理解起来要简单一些，不像 Bentley-Ottmann 有诸多限制，还能包含曲线。具体做法是先遍历求得每条线段的 bbox，即包围盒。直线比较简单，曲线需要求导求极值。可以参考：

https://www.iquilezles.org/www/articles/bezierbbox/bezierbbox.htm

注意文中遗漏了特殊情况，当 2 次项系数为 0 时，方程降级为一元一次。

有了 bbox 后，扫描线经过的点即每个 bbox 的左侧开始和右侧结束。每扫过开始，将这条线段加入活动列表；扫过结束则剔除。处于活动列表中的线段且 bbox 有重叠的，才进行真正求交。再有交点结果的，从相交处分割线段。

如上图，3 条线段 abc 的 bbox 都用半透明底色填充供可视化观察（图左）。

• 当扫描线扫到 b 的开始时（图中），活动列表是 a 和 b，且 a 和 b 的 bbox 重叠，求交但没有交点。
• 当扫到 c 的开始时（图右），活动列表是 a 和 c，且 a 和 c 的 bbox 重叠，求交有交点。将 a 分割为 a1 和 a2，c 分割为 c1 和 c2（图下）。

注意，如果遇到线段重合，包括部分重合和完全重合，重合的部分只计一次，多余的要舍弃掉。但重合次数要记下来，比如 a、b 线段中间部分重合，求交后重合部分提取出来作为一条线段，次数是 2。

另外垂线是个特殊的情况，它会和扫描线重合。这时记下端点是开始，上端点是结束。在进入活动列表时要特殊注意下，不要刚进来就被剔除了。

  线段内外性

这里我直接借用了@velipso 的 blog 的例子，他画得非常漂亮！原文链接在末尾参考。

红色多边形和蓝色多边形如上图，它们重合的边（线段）有 2、3、4，次数都是 2。Martinez 法是基于边的思考，不同于 Greiner-Hormann 基于点的思考，它最重要的是可以处理重合问题。我们先将 2 个多边形各自查看，每条边（线段）都有两侧的概念，其中一侧是多边形内部，另外一侧是外部。

以同色实心圆圈标识内部，空心圆圈标识外部，很容易理解上图中红蓝多边形每条边的内外性。然后再将 2 个多边形放在一起看，为每条边添加对方颜色的内外性圆圈，就得到了这样一张图：

如果你有足够的洞察力，相信看到这张图之后，就能想象出算法结果：选取符合内外性要求的边组成新的多边形。例如交集的结果是红蓝重叠的 2 个三角形，重叠的边有什么特征？一侧的红蓝圆圈都是实心的。

  线段注释

那么接下来最重要的事情就是给每条边（线段）注释内外性了。我们仍然选用垂直扫描线算法，但要扫描 3 次：

1. 只扫描红色多边形，计算红色边的注释；
2. 只扫描蓝色多边形，计算蓝色边的注释；
3. 同时扫描红蓝多边形，计算对方边的注释。

扫描前先给出几点说明：

1. 扫描线是从左到右的，因此所有线段的左端点为开始点，右端点为结束点；
2. 维持一个活动列表，当扫过开始点时将线段加入，扫过结束点时剔除；
3. 活动列表中的线段，按照相同x值的部分比较 y 大小来确定上下排序；
4. 同一时刻扫描线可能经过多个顶点（x 坐标相同），按从下到上顺序触发；
5. 开始点和结束点重合时（两条线段交点），优先结束；
6. 线段会把所在平面分为上下两部分，这样说有点不严谨，可以想象线段延长为直线；
7. 垂线比较特殊，记下端点为开始点，上端点为结束点，这时左边称为上，右边称为下；

最重要的来了，通过 Bentley-Ottmann 带给我们的思考，能得出以下观察（先考虑前 2 次分别扫描注释红蓝自己）。首先，扫描过程中，处于活动列表底部的边，它的下面没有其它线段了，所以下面这侧一定是外部。如下图，线段 1、2、3、4、5、6，都是底部的。结合之前注释的圆圈图，无论红色还是蓝色，下方都是空心的。

然后，当我们得知一条边的一侧的内外性后，另外一侧也就知道了。一般是相反，除非是重合线段。下图的绘制顺序是：abcabd。根据奇偶规则，底部的边 ab 重合 2 次，因此它的上方也是空白的。由此不难发现：在奇偶规则下，重合边的两侧，根据重合次数的奇偶性，决定了是否内外性一致。

最后，活动列表中相邻的 2 条线段，如果已知下面一条线段的上方内外性，那么上面一条线段的下方必然是相等的。这条太直观了，就像公理。

完成前 2 次扫描后，可以得到上图的注释信息。注意红蓝重合的 3 条边，已经提前知道对方的注释了。

接下来该考虑第 3 次扫描注释对方。普通非重合线（这里重合是指和对方多边形的重合，注意区分）的情况下，依旧是查看是否处于活动列表最底部，是的话一定在对方多边形外，上下注释对方都是空心圆圈。如下图 1 号红色线段，是底部线段，那么两侧的蓝色都是外部空心。

普通非底部的话，查看活动列表中下方的边，如果和自己同色，取其上方的对方注释，否则取其上方的自己注释。如上图 2 号线段，下方是 1 号线段，同色，取 1 号上方的对方蓝色空心圆圈给自己注释；而 6 号线段又是底部，两侧都是蓝色空心；7 号线段的下方是 6 号，不同色，取 6 号上方自己红色实心圆圈给自己注释。特殊的和对方重合的 3、4、5线段，无需多余计算，因为前 2 次扫描时红色和蓝色早已各自计算好了，此时拼在一起即可。

  扩展曲线

曲线的注释和直线并无区别，规则都是一样的，麻烦点在于判断曲线相邻边上下顺序。先看下图直线。图左是常见情况，此时可以说 a 在 b 的上方。因为之前的规则是：按照相同 x 值的部分比较y大小来确定上下排序。扫描线在经过 b 左侧开始到 a 右侧结束时，a 和 b 都处于活动列表内且 x 值有相同的一段，此时 a 的 y 值比 b 大，所以说 a 在 b 的上方。图右是个特殊情况，a 是垂线，但 a 仍然在这部分 y 比 b 大。

再说曲线。实际曲线可以看做是分割成许多条细小的直线组成，当数量趋向于无穷时等价。这些直线首尾相连不会与其它线段相交，上下内外性也保持一致，因此还是符合已有的排序规则，看相同 x 部分的 y 大小。

还记得开始按 x 分割曲线单调性吗？如果不分割的话，就无法满足这种等价性。

  选择结果

注释结束之后，每条边就有 4 个圆圈：上红、下红、上蓝、下蓝。每个圆圈有实心/空心 2 种可能，所以就有 16 种变化。用 1 来代表实心，0 代表空心，16 种变化可以写成一个[0, 15]的二进制数字。

还是以交集举例，保留的边是一侧都是红蓝实心，那么就可以组成这样一个矩阵：

/* 上红 上蓝 下红 下蓝 结果
 *   0   0    1   1 = 3
 *   0   1    1   1 = 7
 *   1   0    1   1 = 11
 *   1   1    0   0 = 12
 *   1   1    0   1 = 13
 *   1   1    1   0 = 14
 */
const INTERSECT = [
  0, 0, 0, 1,
  0, 0, 0, 1,
  0, 0, 0, 1,
  1, 1, 1, 0,
];

很漂亮的一个对称矩阵。但有意排除了 1111=15 这种情况，因为两侧都是红蓝实心的话，这种边是毫无意义的，也不会出现。其它几种情况的矩阵：

const INTERSECT = [
  0, 0, 0, 1,
  0, 0, 0, 1,
  0, 0, 0, 1,
  1, 1, 1, 0,
], UNION = [
  0, 1, 1, 1,
  1, 0, 0, 0,
  1, 0, 0, 0,
  1, 0, 0, 0,
], SUBTRACT = [
  0, 0, 1, 0,
  0, 0, 1, 0,
  1, 1, 0, 1,
  0, 0, 1, 0,
], SUBTRACT_REV = [
  0, 1, 0, 0,
  1, 0, 1, 1,
  0, 1, 0, 0,
  0, 1, 0, 0,
], XOR = [
  0, 1, 1, 0,
  1, 0, 0, 1,
  1, 0, 0, 1,
  0, 1, 1, 0,
];

选择最终保留的边（线段）后，把它们链接起来就行。从任意一条线段开始，循环遍历所有线段。

1. 如果是开始线段，将其作为一条新链（chain）；
2. 后面的线段尝试能否和已有 chain 连上，如果可以则加入 chain，不能则视作情况1；
3. 每条 chain 加入新边后，要检查能否和其它 chain 连接起来，再检查能否闭合形成一个多边形子区域。

到最后会发现，剩下的边刚刚好能形成若干个闭合区域，这就是我们想要的结果。因为选择边的任意性，最终多边形边的顺序和组合可能也多种多样。如下图左红蓝多边形的异或操作，可能连成隔开的 2 个子区域，也可能连成重叠的样子（奇偶环绕）。

  强制奇偶

可以看到，Martinez 法有个前提条件，就是强制奇偶规则，这样运算过程中重合的线段部分，才能根据重合次数得出两侧的内外性是一致还是相反。像下图这个 abcabd 的多边形，奇偶规则是左边的样子，非零则是右边。

然而无论什么规则，在 Sketch 中，参与布尔运算后结果都是奇偶情况下的，因此很可能 Sketch 也使用了类似的解法。下图的交集都是空：

另外运算的结果 Sketch 则同时支持了奇偶和非零两种规则。

上图这个例子中右边 2 个连接结果，奇偶是一定正确的，非零则必须要求红色和蓝色轮廓的时钟序是相反的，否则绘制结果会是全集的样子。如何确保连接出相反的时钟序，我并没有很好的理论证明，只是大概有如下猜测：

1. 优先从处于对方内部的边开始循环（对方两侧填充性都是实心）；
2. 当新加入的边有多条 chain 可选时，优先选择和自己不同色的；
3. 如此便会形成包含情况（图右），用鞋带定理求得包含的 2 个多边形的时钟序，进行相反操作。

如有错误，敬请指正。

  参考

《A new algorithm for computing Boolean operations on polygons》F. Martinez 2008 

《The method of finding points of intersection of two cubic bezier curves using the sylvester matrix》BI Barbara 

《Polygon-clipping-pt2》@velipso

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