芝诺悖论：阿基里斯与龟
我们今天说一个人，叫芝诺(Zeno)，熟悉我们的朋友应该知道，我们之前提过好几次了。
芝诺的生平在历史中缺乏记载，他在当时也并不怎么出名，也没什么可以被后世人所铭记的成就，而人们大多认识他，都是从亚里士多德和柏拉图的著作中开始的。
用一句话来描述的话：
芝诺，是公元前5世纪，生活在古希腊的一个“愿意较真儿”甚至还有点儿“矫情”的哲学家、数学家。据说他还是另一位古希腊哲学家巴门尼德的学生。
总之，芝诺这个人呢，很有意思，他提出过很多 —— 就连他自己都搞不清楚的问题，就称为 —— 芝诺悖论。
这也是我们今天的主题。不过，我们今天分享这些悖论，并不是想要借此说什么规律和道理，我只是觉得这些思考 —— 非常有趣，那我们，当然应该了解了解，不是吗？
就当是逻辑训练好了。如果你在听故事的过程中有了一些思考与启发，那就更好了。
芝诺悖论
芝诺的第一个悖论，叫“二分法悖论”，意思是：如果今天你要从家里到公司，也就是从A点到达B点，啊，这是不可能的！为啥呢？
芝诺说：
如果你今天要从A点到B点，就一定要先经过它们的中点，比如说是C点；
而要想到达C点，则一定要先经过A和C的中点，比如说是D点；
而要想到达D点，那你当然要先经过A和D的中点，比如说是E点；
依次类推.....
你看，这样的中间点在一路上有“无穷多”个，你永远都走不到最后一个“中间点”，也就是说，你永远都到达不了B点。
好，下面我们继续说第二个悖论，
叫“阿基里斯悖论”。
阿基里斯，是古希腊神话中一个善跑的英雄，而芝诺来了一个思想实验，他说：现在，阿基里斯要和一只乌龟赛跑，你说谁赢呢？那肯定是阿基里斯赢了，这还用说吗？
可芝诺说不，如果他俩同时出发，那乌龟确实跑不过阿基里斯，但只要这个乌龟先出发了，那么阿基里斯，就永远都追不上它了。
为啥呢？
为进一步说明这个悖论，
我们来一个假设，
假设阿基里斯的速度是乌龟的十倍。
好，现在阿基里斯起跑的时候，乌龟已经先跑了100米，到达了A点；
那么等阿基里斯到达A点的时候，乌龟肯定又往前跑了10米，到达了B点；
下一刻，等阿基里斯跑到B点的时候，乌龟又往前走了1米，到达了C点；
再下一刻，等阿基里斯到达C点的时候，乌龟也一定又往前走了0.1米，到达了D点；
依次类推......
你看，这也就是说，每当阿基里斯走到乌龟曾经到达的地方的时候，乌龟都往前走了一段距离，阿基里斯和乌龟的距离在不断地接近，却永远追不上。
这两个悖论说得其实是一回事。
听完这两个悖论，你也许会想：这种理论在现实中根本站不住脚啊，阿基里斯要是步子迈得大一点，不就马上能超越乌龟了吗？现实中，我们从家里出发，一步，就不知道迈过了多少个芝诺说的“中间点”，不是吗？
是的，如果我们就从常识和直觉来讲，芝诺的这种话其实根本就不值得去反驳和探讨。
但是，如果按照芝诺的思路去想，
光从理论上，你还真不容易驳倒他。
理论与实践
芝诺生活的时代，是中国的春秋战国时期，我们可以试想，如果当时的芝诺来到了中国讲了他的这些问题，那么当时的士大夫们肯定是不屑于回答芝诺的这种“傻问题”的，因为这些问题“不合理”，芝诺的诡辩显然不符合我们传统上“学以致用”的价值观。
不过，后世的很多欧洲学者们，总有人不断地试图找出芝诺逻辑上的破绽，想要破解芝诺的悖论。
因为他们觉得：既然在现实上阿基里斯是肯定能超过乌龟的，那么一定是理论还不够成熟、有待完善，有一个大漏洞我们还没有发觉。
这种精神非常可嘉，但可想而知，以当时的数学理论基础，还真没人能驳倒芝诺。
两千年来，这个问题欧洲人一直想不明白。直到17世纪，整整两千年后，牛顿发明了微积分，有了“无穷小”和“极限”的概念，才作出了圆满的解释。
我们在这里稍微科普一下这个“极限”的概念，
芝诺悖论的矛盾之处就在于：他把像“A点到B点”这种有限的距离，分割成了无限份，可是这一分割，就引来了另一个问题，那就是：一个东西既然可以被分割成无限份，那么，它还是有限的吗？
举个例子：
比如，一个有限的1小时，可以被分成60分钟，然后再继续分成3600秒，但分到秒，还没有结束，我们可以继续加入“毫秒、微秒、纳秒”这种更小的时间单位继续拆分，也许最后连普朗克时间都能用上。（普朗克时间是10的负43次秒，是理论上人类可观测的最短时间。）但即便如此，人们依旧还是可以继续创造新的时间单位的概念，继续无限地分下去的。
好，那么问题又来了，既然时间可以无限地分下去，那么时间，还是有限的吗？
再比如：
我们小时候上数学课的时候，老师在黑板上画了一条线，说这个线段是由“无穷个点”连接而成的。
好，既然这个线段可以被分成无穷个“点”，那这个线段，还是有限的吗？
而微积分的极限概念，就完美地解决了这个问题。也就是无限分割后的时间、空间、距离的总和 —— 可以是有限的。
芝诺考虑的逻辑，相当于是把多个“无穷小”相加，他以为这个相加的结果，应该是“无穷大”，但事实上，结果是有限的。
这就如同：
1/2+1/4+1/8+1/16 这么加加加，一直加到天涯海角，并不是等于无穷大，而是无限趋近于1，也就是 —— 等于1。
庄子如是说
在《庄子·天下篇》里，有这么一句话：
一尺之棰，日取其半，万世不竭。
如果单看这句话，说的其实和芝诺悖论是一个意思，就是说，一个木棍儿，每天取一半，永远都取不完。
但是，庄子说这句话并不是说他的逻辑和芝诺一样，如果我们结合上下文去看，我们就会发现，庄子这句话，是用来批评惠子用的。
惠子，我们也讲过很多次了，他是庄子的朋友，他博学多闻，所著的书都有五车之多，他面对问题愿意穷究事理，是当时著名的雄辩家，是诸子百家中以擅于辩论而出名的“名家学派”的代表人物，可是，这样的惠子每当和庄子对话，就会出现华生和福尔摩斯对话一样的画风。
庄子说：
天下的辩者，都喜欢这样的学说，他们和惠子一样，终日研究这种问题，则终身都没有穷尽，他们能够胜过人的口舌，却不能折服人的内心。这就是辨者的局限。
庄子觉得，先秦百家的各种学术，就像无限分割后的“点”一样，但这些也都只不过是宇宙人生的局部，只是“片面之真”，若只会一味地追求“无穷小的点”，则永远无法认识到“无穷大的道”。
这很像我们以前画画时，老师总说不要抠细节，因为一幅画是整体的，你总要画一会儿，然后站起来后退几步，从远处看看整体，因为所有刚开始画画的人，画着画着，就都会抠细节。
我以前看过一些在佛家以逻辑著称的唯识宗讲佛理的文章，唯识宗的代表人物玄奘法师的观点就和庄子特别像，他也说：物质无穷地分下去，没有必要，因为分到一定程度后，最终剩下的，就是 ——“空”。
这就像物理学里，物质是分子组成的，分子是原子组成的，原子是质子、中子和电子组成的，质子和中子又是由夸克组成的。那么接下来连小学生都会问的问题就是：夸克和电子，又是什么东西组成的呢？
答案是：
现代物理学的标准模型认为夸克和电子是“基本粒子”，而所谓的基本粒子，都是一些“数学结构”，不可再分，也不必再分。
这个其实很好理解：
比如说就现在你正在看的这篇文章，你可以把它分成章节；章节可以分成句子；句子可以分成单词；单词可以分成单个的字和符号。
那请问，像“你、我、他、逗号、句号”，这样的汉字和符号，还可以再分吗？
理论上是可以的，你还可以分成偏旁部首，但再分就没有意义了。单个汉字已经是“最底层的单位”了，它们代表的都是抽象的概念，所以无需再分。
你在那里穷究最底层的抽象概念，比如单个的汉字，那你能理解整篇文章的意思吗？
好，那么最后再留一个思考题：
如果所有东西分分分，分到最后都是“空”，都只剩下了一些抽象的“数学结构”，就像是数字“1”，而这个“1”，在现实世界是不存在的，它只存在于逻辑世界中。
那么问题来了：
如果组成世界的最底层单位都是抽象的数学结构，那这个世界，还算是真实存在的吗？
到这里我只想到一句话，也许你想到的和我一样，那就是：
一切有为法，如梦幻泡影，
如露亦如电，应作如是观。
好，以上就是我们今天的全部内容，
在评论区，留下您的思考吧，
感谢您的阅读，与君共勉。