如何通俗易懂地解释卷积？
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对卷积的困惑
卷积这个概念，很早以前就学过，但是一直没有搞懂。教科书上通常会给出定义，给出很多性质，也会用实例和图形进行解释，但究竟为什么要这么设计，这么计算，背后的意义是什么，往往语焉不详。作为一个学物理出身的人，一个公式倘若倘若给不出结合实际的直观的通俗的解释（也就是背后的“物理”意义），就觉得少了点什么，觉得不是真的懂了。
教科书上一般定义函数 f,g 的卷积 f*g(n) 如下：
连续形式：
(f*g)(n)=\int_{-\infty }^{\infty}f(\tau )g(n-\tau)d\tau
离散形式：
(f*g)(n)=\sum_{\tau=-\infty }^{\infty}f(\tau)g(n-\tau)
并且也解释了，先对g函数进行翻转，相当于在数轴上把g函数从右边褶到左边去，也就是卷积的“卷”的由来。
然后再把g函数平移到n，在这个位置对两个函数的对应点相乘，然后相加，这个过程是卷积的“积”的过程。
这个只是从计算的方式上对公式进行了解释，从数学上讲无可挑剔，但进一步追问，为什么要先翻转再平移，这么设计有何用意？还是有点费解。
在知乎，已经很多的热心网友对卷积举了很多形象的例子进行了解释，如卷地毯、丢骰子、打耳光、存钱等等。读完觉得非常生动有趣，但过细想想，还是感觉有些地方还是没解释清楚，甚至可能还有瑕疵，或者还可以改进（这些后面我会做一些分析）。
带着问题想了两个晚上，终于觉得有些问题想通了，所以就写出来跟网友分享，共同学习提高。不对的地方欢迎评论拍砖。。。
明确一下，这篇文章主要想解释两个问题：
1. 卷积这个名词是怎么解释？“卷”是什么意思？“积”又是什么意思？
2. 卷积背后的意义是什么，该如何解释？
考虑的应用场景
为了更好地理解这些问题，我们先给出两个典型的应用场景：
1. 信号分析
一个输入信号f(t)，经过一个线性系统（其特征可以用单位冲击响应函数g(t)描述）以后，输出信号应该是什么？实际上通过卷积运算就可以得到输出信号。
2. 图像处理
输入一幅图像f(x,y)，经过特定设计的卷积核g(x,y)进行卷积处理以后，输出图像将会得到模糊，边缘强化等各种效果。
对卷积的理解
对卷积这个名词的理解：所谓两个函数的卷积，本质上就是先将一个函数翻转，然后进行滑动叠加。
在连续情况下，叠加指的是对两个函数的乘积求积分，在离散情况下就是加权求和，为简单起见就统一称为叠加。
整体看来是这么个过程：
翻转——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加.....
多次滑动得到的一系列叠加值，构成了卷积函数。
卷积的“卷”，指的的函数的翻转，从 g(t) 变成 g(-t) 的这个过程；同时，“卷”还有滑动的意味在里面（吸取了网友李文清的建议）。如果把卷积翻译为“褶积”，那么这个“褶”字就只有翻转的含义了。
卷积的“积”，指的是积分/加权求和。
有些文章只强调滑动叠加求和，而没有说函数的翻转，我觉得是不全面的；有的文章对“卷”的理解其实是“积”，我觉得是张冠李戴。
对卷积的意义的理解：
1. 从“积”的过程可以看到，我们得到的叠加值，是个全局的概念。以信号分析为例，卷积的结果是不仅跟当前时刻输入信号的响应值有关，也跟过去所有时刻输入信号的响应都有关系，考虑了对过去的所有输入的效果的累积。在图像处理的中，卷积处理的结果，其实就是把每个像素周边的，甚至是整个图像的像素都考虑进来，对当前像素进行某种加权处理。所以说，“积”是全局概念，或者说是一种“混合”，把两个函数在时间或者空间上进行混合。
2. 那为什么要进行“卷”？直接相乘不好吗？我的理解，进行“卷”（翻转）的目的其实是施加一种约束，它指定了在“积”的时候以什么为参照。在信号分析的场景，它指定了在哪个特定时间点的前后进行“积”，在空间分析的场景，它指定了在哪个位置的周边进行累积处理。
举例说明
下面举几个例子说明为什么要翻转，以及叠加求和的意义。
例1：信号分析
如下图所示，输入信号是 f(t) ，是随时间变化的。系统响应函数是 g(t) ，图中的响应函数是随时间指数下降的，它的物理意义是说：如果在 t=0 的时刻有一个输入，那么随着时间的流逝，这个输入将不断衰减。换言之，到了 t=T时刻，原来在 t=0 时刻的输入f(0)的值将衰减为f(0)g(T)。
考虑到信号是连续输入的，也就是说，每个时刻都有新的信号进来，所以，最终输出的是所有之前输入信号的累积效果。如下图所示，在T=10时刻，输出结果跟图中带标记的区域整体有关。其中，f(10)因为是刚输入的，所以其输出结果应该是f(10)g(0)，而时刻t=9的输入f(9)，只经过了1个时间单位的衰减，所以产生的输出应该是 f(9)g(1)，如此类推，即图中虚线所描述的关系。这些对应点相乘然后累加，就是T=10时刻的输出信号值，这个结果也是f和g两个函数在T=10时刻的卷积值。
显然，上面的对应关系看上去比较难看，是拧着的，所以，我们把g函数对折一下，变成了g(-t)，这样就好看一些了。看到了吗？这就是为什么卷积要“卷”，要翻转的原因，这是从它的物理意义中给出的。
上图虽然没有拧着，已经顺过来了，但看上去还有点错位，所以再进一步平移T个单位，就是下图。它就是本文开始给出的卷积定义的一种图形的表述：
所以，在以上计算T时刻的卷积时，要维持的约束就是： t+ (T-t) = T 。这种约束的意义，大家可以自己体会。
例2：丢骰子
在本问题 如何通俗易懂地解释卷积？中排名第一的 马同学在中举了一个很好的例子（下面的一些图摘自马同学的文章，在此表示感谢），用丢骰子说明了卷积的应用。
要解决的问题是：有两枚骰子，把它们都抛出去，两枚骰子点数加起来为4的概率是多少?
分析一下，两枚骰子点数加起来为4的情况有三种情况：1+3=4， 2+2=4, 3+1=4
因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：
写成卷积的方式就是：
\displaystyle (f*g)(4)=\sum _{m=1}^{3}f(4-m)g(m)\\
在这里我想进一步用上面的翻转滑动叠加的逻辑进行解释。
首先，因为两个骰子的点数和是4，为了满足这个约束条件，我们还是把函数 g 翻转一下，然后阴影区域上下对应的数相乘，然后累加，相当于求自变量为4的卷积值，如下图所示：
进一步，如此翻转以后，可以方便地进行推广去求两个骰子点数和为 n 时的概率，为f 和 g的卷积 f*g(n)，如下图所示：
由上图可以看到，函数 g 的滑动，带来的是点数和的增大。这个例子中对f和g的约束条件就是点数和，它也是卷积函数的自变量。有兴趣还可以算算，如果骰子的每个点数出现的概率是均等的，那么两个骰子的点数和n=7的时候，概率最大。
例3：图像处理
还是引用知乎问题 如何通俗易懂地解释卷积？中 马同学的例子。图像可以表示为矩阵形式（下图摘自马同学的文章）：
对图像的处理函数（如平滑，或者边缘提取），也可以用一个g矩阵来表示，如：
g=\begin{bmatrix} &b_{-1,-1} &b_{-1,0} &b_{-1,1}\\ &b_{0,-1} &b_{0,0} &b_{0,1} \\ &b_{1,-1} &b_{1,0} &b_{1,1} \end{bmatrix}
注意，我们在处理平面空间的问题，已经是二维函数了，相当于：
f(x,y)=a_{x,y}
g(x,y)=b_{x,y}
那么函数f和g的在（u，v）处的卷积 f*g(u,v) 该如何计算呢？
按卷积的定义，二维离散形式的卷积公式应该是：
(f * g)(u, v)=\sum_{i} \sum_{j} f(i, j)g(u-i, v-j)=\sum_{i} \sum_{j} a_{i,j} b_{u-i,v-j}
从卷积定义来看，应该是在x和y两个方向去累加（对应上面离散公式中的i和j两个下标），而且是无界的，从负无穷到正无穷。可是，真实世界都是有界的。例如，上面列举的图像处理函数g实际上是个3x3的矩阵，意味着，在除了原点附近以外，其它所有点的取值都为0。考虑到这个因素，上面的公式其实退化了，它只把坐标（u,v）附近的点选择出来做计算了。所以，真正的计算如下所示：
首先我们在原始图像矩阵中取出（u,v）处的矩阵：
f=\begin{bmatrix} &a_{u-1,v-1} &a_{u-1,v} &a_{u-1,v+1}\\ &a_{u,v-1} &a_{u,v} &a_{u,v+1} \\ &a_{u+1,v-1} &a_{u+1,v} &a_{u+1,v+1} \end{bmatrix}
然后将图像处理矩阵翻转（这个翻转有点意思，可以有几种不同的理解，其效果是等效的：（1）先沿x轴翻转，再沿y轴翻转；（2）先沿x轴翻转，再沿y轴翻转；），如下：
原始矩阵：
翻转后的矩阵： g^{'}=\begin{bmatrix} &b_{1,1} &b_{1,0} &b_{1,-1}\\ &b_{0,1} &b_{0,0} &b_{0,-1} \\ &b_{-1,1} &b_{-1,0} &b_{-1,-1} \end{bmatrix}
（1）先沿x轴翻转，再沿y轴翻转
g=\begin{bmatrix} &b_{-1,-1} &b_{-1,0} &b_{-1,1}\\ &b_{0,-1} &b_{0,0} &b_{0,1} \\ &b_{1,-1} &b_{1,0} &b_{1,1} \end{bmatrix}=>\begin{bmatrix} &b_{1,-1} &b_{1,0} &b_{1,1}\\ &b_{0,-1} &b_{0,0} &b_{0,1} \\ &b_{-1,-1} &b_{-1,0} &b_{-1,1} \end{bmatrix}=>\begin{bmatrix} &b_{1,1} &b_{1,0} &b_{1,-1}\\ &b_{0,1} &b_{0,0} &b_{0,-1} \\ &b_{-1,1} &b_{-1,0} &b_{-1,-1} \end{bmatrix}=g^{'}
（2）先沿y轴翻转，再沿x轴翻转
g=\begin{bmatrix} &b_{-1,-1} &b_{-1,0} &b_{-1,1}\\ &b_{0,-1} &b_{0,0} &b_{0,1} \\ &b_{1,-1} &b_{1,0} &b_{1,1} \end{bmatrix}=>\begin{bmatrix} &b_{-1,1} &b_{-1,0} &b_{-1,-1}\\ &b_{0,1} &b_{0,0} &b_{0,-1} \\ &b_{1,1} &b_{1,0} &b_{1,-1} \end{bmatrix}=>\begin{bmatrix} &b_{1,1} &b_{1,0} &b_{1,-1}\\ &b_{0,1} &b_{0,0} &b_{0,-1} \\ &b_{-1,1} &b_{-1,0} &b_{-1,-1} \end{bmatrix}=g^{'}
计算卷积时，就可以用 f 和 g^{'} 的内积：
f*g(u,v)=a_{u-1,v-1} \times b_{1,1} + a_{u-1,v} \times b_{1,0} +a_{u-1,v+1} \times b_{1,-1}
+ a_{u,v-1} \times b_{0,1} + a_{u,v} \times b_{0,0} + a_{u,v+1} \times b_{0,-1}
+ a_{u+1,v-1} \times b_{-1,1} + a_{u+1,v} \times b_{-1,0} + a_{u+1,v+1} \times b_{-1,-1}
请注意，以上公式有一个特点，做乘法的两个对应变量a,b的下标之和都是（u,v），其目的是对这种加权求和进行一种约束。这也是为什么要将矩阵g进行翻转的原因。以上矩阵下标之所以那么写，并且进行了翻转，是为了让大家更清楚地看到跟卷积的关系。这样做的好处是便于推广，也便于理解其物理意义。实际在计算的时候，都是用翻转以后的矩阵，直接求矩阵内积就可以了。
以上计算的是（u,v）处的卷积，延x轴或者y轴滑动，就可以求出图像中各个位置的卷积，其输出结果是处理以后的图像（即经过平滑、边缘提取等各种处理的图像）。
再深入思考一下，在算图像卷积的时候，我们是直接在原始图像矩阵中取了（u,v）处的矩阵，为什么要取这个位置的矩阵，本质上其实是为了满足以上的约束。因为我们要算（u，v）处的卷积，而g矩阵是3x3的矩阵，要满足下标跟这个3x3矩阵的和是（u,v），只能是取原始图像中以（u，v）为中心的这个3x3矩阵，即图中的阴影区域的矩阵。
推而广之，如果如果g矩阵不是3x3，而是7x7，那我们就要在原始图像中取以（u，v）为中心的7x7矩阵进行计算。由此可见，这种卷积就是把原始图像中的相邻像素都考虑进来，进行混合。相邻的区域范围取决于g矩阵的维度，维度越大，涉及的周边像素越多。而矩阵的设计，则决定了这种混合输出的图像跟原始图像比，究竟是模糊了，还是更锐利了。
比如说，如下图像处理矩阵将使得图像变得更为平滑，显得更模糊，因为它联合周边像素进行了平均处理：
g=\begin{bmatrix} &\frac{1}{9} &\frac{1}{9} &\frac{1}{9}\\ &\frac{1}{9} &\frac{1}{9} &\frac{1}{9} \\ &\frac{1}{9} &\frac{1}{9} &\frac{1}{9} \end{bmatrix}
而如下图像处理矩阵将使得像素值变化明显的地方更为明显，强化边缘，而变化平缓的地方没有影响，达到提取边缘的目的：
g=\begin{bmatrix} &-1 &-1 &-1\\ &-1 &9 &-1 \\ &-1 &-1 &-1 \end{bmatrix}
对一些解释的不同意见
上面一些对卷积的形象解释，如知乎问题卷积为什么叫「卷」积？中 荆哲 ，以及问题 如何通俗易懂地解释卷积？中 马同学 等人提出的如下比喻：
其实图中“卷”的方向，是沿该方向进行积分求和的方向，并无翻转之意。因此，这种解释，并没有完整描述卷积的含义，对“卷”的理解值得商榷。
一些参考资料
《数字信号处理（第二版）》程乾生，北京大学出版社
《信号与系统引论》 郑君里，应启珩，杨为理，高等教育出版社
从数学上讲，卷积就是一种运算。
某种运算，能被定义出来，至少有以下特征：
- 首先是抽象的、符号化的
- 其次，在生活、科研中，有着广泛的作用
比如加法：
- a+b ，是抽象的，本身只是一个数学符号
- 在现实中，有非常多的意义，比如增加、合成、旋转等等
卷积，是我们学习高等数学之后，新接触的一种运算，因为涉及到积分、级数，所以看起来觉得很复杂。
1 卷积的定义
我们称 (f*g)(n) 为 f,g 的卷积
其连续的定义为：
\displaystyle (f*g)(n)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(n-\tau )d\tau \\
其离散的定义为：
\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }{f(\tau )g(n-\tau )}\\
这两个式子有一个共同的特征：
这个特征有什么意义？
我们令 x=\tau ,y=n-\tau ，那么 x+y=n 就是下面这些直线：
如果遍历这些直线，就好比，把毛巾沿着角卷起来：
此处受到 荆哲：卷积为什么叫「卷」积？ 答案的启发。
只看数学符号，卷积是抽象的，不好理解的，但是，我们可以通过现实中的意义，来习惯卷积这种运算，正如我们小学的时候，学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。
我们来看看现实中，这样的定义有什么意义。
2 离散卷积的例子：丢骰子
我有两枚骰子：
把这两枚骰子都抛出去：
求：
这里问题的关键是，两个骰子加起来要等于4，这正是卷积的应用场景。
我们把骰子各个点数出现的概率表示出来：
那么，两枚骰子点数加起来为4的情况有：
因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：
f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)\\
符合卷积的定义，把它写成标准的形式就是：
\displaystyle (f*g)(4)=\sum _{m=1}^{3}f(4-m)g(m)\\
3 连续卷积的例子：做馒头
楼下早点铺子生意太好了，供不应求，就买了一台机器，不断的生产馒头。
假设馒头的生产速度是 f(t) ，那么一天后生产出来的馒头总量为：
\int _{0}^{24}f(t)dt\\
馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为 g(t) ，比如，10个馒头，24小时会腐败：
10*g(t)\\
想想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒头，一天后会经历23小时的腐败。
如此，我们可以知道，一天后，馒头总共腐败了：
\int _{0}^{24}f(t)g(24-t)dt\\
这就是连续的卷积。
4 图像处理
4.1 原理
有这么一副图像，可以看到，图像上有很多噪点：
高频信号，就好像平地耸立的山峰：
看起来很显眼。
平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去。用数学的话来说，就是把山峰周围的高度平均一下。
平滑后得到：
4.2 计算
卷积可以帮助实现这个平滑算法。
有噪点的原图，可以把它转为一个矩阵：
然后用下面这个平均矩阵（说明下，原图的处理实际上用的是正态分布矩阵，这里为了简单，就用了算术平均矩阵）来平滑图像：
g=\begin{bmatrix} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}\\
记得刚才说过的算法，把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。
比如我要平滑 a_{1,1} 点，就在矩阵中，取出 a_{1,1} 点附近的点组成矩阵 f ，和 g 进行卷积计算后，再填回去：
要注意一点，为了运用卷积， g 虽然和 f 同维度，但下标有点不一样：
我用一个动图来说明下计算过程：
写成卷积公式就是：
\displaystyle (f*g)(1,1)=\sum _{k=0}^{2}\sum _{h=0}^{2}f(h,k)g(1-h,1-k)\\
要求 c_{4,5} ，一样可以套用上面的卷积公式。
这样相当于实现了 g 这个矩阵在原来图像上的划动（准确来说，下面这幅图把 g 矩阵旋转了 180^\circ ）：
此图出处：Convolutional Neural Networks - Basics
文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何通俗地理解卷积？
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